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with(LinearAlgebra):
with(plots):
Matrix methods for solving a linear ODE boundary value problem
The purpose of this worksheet is to illustrate the use of matrix methods to solve a boundary value problem for a second order linear ODE. The ODE and BCs we will work with are:
ODE := x^2*diff(u(x),x,x)+x*diff(u(x),x)+(x^2-1)*u(x);
BCs := u(1)=0,u(10)=1;
NiM+JSRPREVHLCgqJiklInhHIiIjIiIiLSUlZGlmZkc2JC0lInVHNiMlInhHLSUiJEc2JCUieEciIiMiIiIiIiIqJiUieEciIiItJSVkaWZmRzYkLSUidUc2IyUieEclInhHIiIiIiIiKiYsJiokKSUieEciIiMiIiIiIiIiIiIhIiIiIiItJSJ1RzYjJSJ4RyIiIiIiIg==
NiM+JSRCQ3NHNiQvLSUidUc2IyIiIiIiIS8tJSJ1RzYjIiM1IiIi
This BVP has an analytic solution in terms of Bessel functions:
analytic_sol := dsolve([ODE,u(1)=0,u(10)=1]);
NiM+JS1hbmFseXRpY19zb2xHLy0lInVHNiMlInhHLCYqKCwmKiYtJShCZXNzZWxZRzYkIiIiIiIiIiIiLSUoQmVzc2VsSkc2JCIiIiIjNSIiIiIiIiomLSUoQmVzc2VsWUc2JCIiIiIjNSIiIi0lKEJlc3NlbEpHNiQiIiIiIiIiIiIhIiIhIiItJShCZXNzZWxZRzYkIiIiIiIiIiIiLSUoQmVzc2VsSkc2JCIiIiUieEciIiIiIiIqKC0lKEJlc3NlbEpHNiQiIiIiIiIiIiIsJiomLSUoQmVzc2VsWUc2JCIiIiIiIiIiIi0lKEJlc3NlbEpHNiQiIiIiIzUiIiIiIiIqJi0lKEJlc3NlbFlHNiQiIiIiIzUiIiItJShCZXNzZWxKRzYkIiIiIiIiIiIiISIiISIiLSUoQmVzc2VsWUc2JCIiIiUieEciIiIhIiI=
We will attempt to reproduce this analytical solution using matrix methods. The first step is to discretize the ODE using finite difference approximations for the derivatives. The procedure centered_stencil generates an N point centered_stencil for the rth derivative of u:
centered_stencil := proc(r,N)
local n, stencil, vars, beta_sol:
n := floor(N/2):
stencil := D[1$r](u)(x) - add(beta[i]*u(x+i*h),i=-n..n);
vars := [u(x),seq(D[1$i](u)(x),i=1..N-1)];
beta_sol := solve([coeffs(collect(convert(series(stencil,h,N),polynom),vars,'distributed'),vars)]):
stencil := subs(beta_sol,stencil):
convert(stencil = convert(series(stencil,h,N+2),polynom),diff);
end proc:
We use the procedure to create stencils for the first and second derivatives of u:
substencil_1 := isolate(lhs(centered_stencil(1,3)),diff(u(x),x));
substencil_2 := isolate(lhs(centered_stencil(2,3)),diff(u(x),x));
NiM+JS1zdWJzdGVuY2lsXzFHLy0lJWRpZmZHNiQtJSJ1RzYjJSJ4RyUieEcsJiomIyIiIiIiIyIiIiomJSJoRyEiIi0lInVHNiMsJiUieEciIiIlImhHISIiIiIiIiIiISIiKiYjIiIiIiIjIiIiKiYlImhHISIiLSUidUc2IywmJSJ4RyIiIiUiaEciIiIiIiIiIiIiIiI=
NiM+JS1zdWJzdGVuY2lsXzJHLy0lJWRpZmZHNiQtJSJ1RzYjJSJ4Ry0lIiRHNiQlInhHIiIjLCgqJiklImhHIiIjISIiLSUidUc2IywmJSJ4RyIiIiUiaEchIiIiIiIiIiIqKCIiIyIiIiklImhHIiIjISIiLSUidUc2IyUieEciIiIhIiIqJiklImhHIiIjISIiLSUidUc2IywmJSJ4RyIiIiUiaEciIiIiIiIiIiI=
Subbing these sub-stencils into the ODE gives
stencil :=subs(substencil_2,substencil_1,ODE);
NiM+JShzdGVuY2lsRywoKiYpJSJ4RyIiIyIiIiwoKiYpJSJoRyIiIyEiIi0lInVHNiMsJiUieEciIiIlImhHISIiIiIiIiIiKigiIiMiIiIpJSJoRyIiIyEiIi0lInVHNiMlInhHIiIiISIiKiYpJSJoRyIiIyEiIi0lInVHNiMsJiUieEciIiIlImhHIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiKiYlInhHIiIiLCYqJiMiIiIiIiMiIiIqJiUiaEchIiItJSJ1RzYjLCYlInhHIiIiJSJoRyEiIiIiIiIiIiEiIiomIyIiIiIiIyIiIiomJSJoRyEiIi0lInVHNiMsJiUieEciIiIlImhHIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiKiYsJiokKSUieEciIiMiIiIiIiIiIiIhIiIiIiItJSJ1RzYjJSJ4RyIiIiIiIg==
We re-label the various quantities in the above as follows:
Subs := [seq(u(x+i*h)=u[j+i],i=-1..1),x=x[j]];
stencil := subs(Subs,stencil);
NiM+JSVTdWJzRzcmLy0lInVHNiMsJiUieEciIiIlImhHISIiJiUidUc2IywmJSJqRyIiIiIiIiEiIi8tJSJ1RzYjJSJ4RyYlInVHNiMlImpHLy0lInVHNiMsJiUieEciIiIlImhHIiIiJiUidUc2IywmJSJqRyIiIiIiIiIiIi8lInhHJiUieEc2IyUiakc=
NiM+JShzdGVuY2lsRywoKiYpJiUieEc2IyUiakciIiMiIiIsKComKSUiaEciIiMhIiImJSJ1RzYjLCYlImpHIiIiIiIiISIiIiIiIiIiKigiIiMiIiIpJSJoRyIiIyEiIiYlInVHNiMlImpHIiIiISIiKiYpJSJoRyIiIyEiIiYlInVHNiMsJiUiakciIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIqJiYlInhHNiMlImpHIiIiLCYqJiMiIiIiIiMiIiIqJiUiaEchIiImJSJ1RzYjLCYlImpHIiIiIiIiISIiIiIiIiIiISIiKiYjIiIiIiIjIiIiKiYlImhHISIiJiUidUc2IywmJSJqRyIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiomLCYqJCkmJSJ4RzYjJSJqRyIiIyIiIiIiIiIiIiEiIiIiIiYlInVHNiMlImpHIiIiIiIi
It will be convenient to convert stencil into a procedure using the unapply command:
Stencil := unapply(stencil,x[j],u[j-1],u[j],u[j+1],h);
NiM+JShTdGVuY2lsR2YqNiclI3kxRyUjeTJHJSN5M0clI3k0RyUiaEc2IjYkJSlvcGVyYXRvckclJmFycm93RzYiLCgqJiklI3kxRyIiIyIiIiwoKiYpJSJoRyIiIyEiIiUjeTJHIiIiIiIiKigiIiMiIiIpJSJoRyIiIyEiIiUjeTNHIiIiISIiKiYpJSJoRyIiIyEiIiUjeTRHIiIiIiIiIiIiIiIiKiYlI3kxRyIiIiwmKiYjIiIiIiIjIiIiKiYlImhHISIiJSN5MkciIiIiIiIhIiIqJiMiIiIiIiMiIiIqJiUiaEchIiIlI3k0RyIiIiIiIiIiIiIiIiIiIiomLCYqJCklI3kxRyIiIyIiIiIiIiIiIiEiIiIiIiUjeTNHIiIiIiIiNiI2IjYi
Now, if the x-lattice contains M+2 points with x[0] = 1 and x[M+1] = 10, then stencil must hold for all j = 1 to M. This gives an M-dimensional linear system for the u[j] to solve once the boundary conditions u[0] = 0 and u[M+1] = 1 are imposed. Here is an example of what the system looks like for a small value of M:
u := 'u':
M := 5:
u[0] := 0:
u[M+1] := 1:
for i from 1 to M do:
eq[i] := Stencil(x[i],u[i-1],u[i],u[i+1],h)
od;
NiM+JiUjZXFHNiMiIiIsKComKSYlInhHNiMiIiIiIiMiIiIsJiooIiIjIiIiKSUiaEciIiMhIiImJSJ1RzYjIiIiIiIiISIiKiYpJSJoRyIiIyEiIiYlInVHNiMiIiMiIiIiIiIiIiIiIiIqJiMiIiIiIiMiIiIqKCYlInhHNiMiIiIiIiIlImhHISIiJiUidUc2IyIiIyIiIiIiIiIiIiomLCYqJCkmJSJ4RzYjIiIiIiIjIiIiIiIiIiIiISIiIiIiJiUidUc2IyIiIiIiIiIiIg==
NiM+JiUjZXFHNiMiIiMsKComKSYlInhHNiMiIiMiIiMiIiIsKComKSUiaEciIiMhIiImJSJ1RzYjIiIiIiIiIiIiKigiIiMiIiIpJSJoRyIiIyEiIiYlInVHNiMiIiMiIiIhIiIqJiklImhHIiIjISIiJiUidUc2IyIiJCIiIiIiIiIiIiIiIiomJiUieEc2IyIiIyIiIiwmKiYjIiIiIiIjIiIiKiYlImhHISIiJiUidUc2IyIiIiIiIiIiIiEiIiomIyIiIiIiIyIiIiomJSJoRyEiIiYlInVHNiMiIiQiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIqJiwmKiQpJiUieEc2IyIiIyIiIyIiIiIiIiIiIiEiIiIiIiYlInVHNiMiIiMiIiIiIiI=
NiM+JiUjZXFHNiMiIiQsKComKSYlInhHNiMiIiQiIiMiIiIsKComKSUiaEciIiMhIiImJSJ1RzYjIiIjIiIiIiIiKigiIiMiIiIpJSJoRyIiIyEiIiYlInVHNiMiIiQiIiIhIiIqJiklImhHIiIjISIiJiUidUc2IyIiJSIiIiIiIiIiIiIiIiomJiUieEc2IyIiJCIiIiwmKiYjIiIiIiIjIiIiKiYlImhHISIiJiUidUc2IyIiIyIiIiIiIiEiIiomIyIiIiIiIyIiIiomJSJoRyEiIiYlInVHNiMiIiUiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIqJiwmKiQpJiUieEc2IyIiJCIiIyIiIiIiIiIiIiEiIiIiIiYlInVHNiMiIiQiIiIiIiI=
NiM+JiUjZXFHNiMiIiUsKComKSYlInhHNiMiIiUiIiMiIiIsKComKSUiaEciIiMhIiImJSJ1RzYjIiIkIiIiIiIiKigiIiMiIiIpJSJoRyIiIyEiIiYlInVHNiMiIiUiIiIhIiIqJiklImhHIiIjISIiJiUidUc2IyIiJiIiIiIiIiIiIiIiIiomJiUieEc2IyIiJSIiIiwmKiYjIiIiIiIjIiIiKiYlImhHISIiJiUidUc2IyIiJCIiIiIiIiEiIiomIyIiIiIiIyIiIiomJSJoRyEiIiYlInVHNiMiIiYiIiIiIiIiIiIiIiIiIiIqJiwmKiQpJiUieEc2IyIiJSIiIyIiIiIiIiIiIiEiIiIiIiYlInVHNiMiIiUiIiIiIiI=
NiM+JiUjZXFHNiMiIiYsKComKSYlInhHNiMiIiYiIiMiIiIsKComKSUiaEciIiMhIiImJSJ1RzYjIiIlIiIiIiIiKigiIiMiIiIpJSJoRyIiIyEiIiYlInVHNiMiIiYiIiIhIiIqJiIiIiIiIiokKSUiaEciIiMiIiIhIiIiIiIiIiIiIiIqJiYlInhHNiMiIiYiIiIsJiomIyIiIiIiIyIiIiomJSJoRyEiIiYlInVHNiMiIiUiIiIiIiIhIiIqJiIiIiIiIiomIiIjIiIiJSJoRyIiIiEiIiIiIiIiIiIiIiomLCYqJCkmJSJ4RzYjIiImIiIjIiIiIiIiIiIiISIiIiIiJiUidUc2IyIiJiIiIiIiIg==
It is not difficulate to get MAPLE to solve such a system. This is what is done in BVP_solver, which takes the number of interior lattice points M as its argument. It returns the numerical solution of the BVP as a list of lists:
BVP_solver := proc(M)
local X, h, u, i, eq, u_sol:
X := j -> evalf(1 + 9*j/(M+1)); # X(j) is the x-coord of the jth lattice point
h := X(1)-X(0); # h is the lattice spacing
u[0] := 0: # the first BC
u[M+1] := 1: # the second BC
for i from 1 to M do: # this loop generates the linear system to be solved
eq[i] := Stencil(X(i),u[i-1],u[i],u[i+1],h):
od;
u_sol := LinearSolve(GenerateMatrix(
convert(eq,list),[seq(u[i],i=1..M)])); # solve using LinearSolve
[[X(0),0],seq([X(j),u_sol[j]],j=1..M),[X(M+1),1]]: # the output is a list of lists
end proc:
Here is a plot of the output of BVP_solver for sucessively larger values of M (red) compared to the analytical solution (green).
plot([seq(BVP_solver(i*10),i=1..5),rhs(analytic_sol)],x=1..10,color=[red$5,green],thickness=[0$5,5],axes=boxed);
-%%PLOTG6,-%'CURVESG6$7.7$$"#5!""$""!!""7$$"+=====!"*$"2.8M=zK@]$!#;7$$"+OOOOE!"*$"1aH8&\$*GQ%!#:7$$"+baaaM!"*$"2$p_jdxd_G!#;7$$"+tsssU!"*$"0.cg.*H,#)!#;7$$"+"4444&!"*$!0**Q](\t^A!#97$$"+4444f!"*$!2c$>.$*f!p*G!#;7$$"+FFFFn!"*$!1o#=$**Qy'p"!#:7$$"+XXXXv!"*$"1eR**yANGT!#;7$$"1,++kjjj$)!#:$"2B1ATX@z/#!#;7$$"+#====*!"*$"1:0*Rd.AC#!#:7$$"$+"!""$"#5!""-%&COLORG6&%$RGBG$"#5!""$""!!""$""!!""-%'CURVESG6$787$$"#5!""$""!!""7$$"+H9dG9!"*$"2HJ;Ecu0n"!#;7$$"+dG9d=!"*$"2Lo\S4q#pF!#;7$$"+'G9dG#!"*$"20IbatXoJ$!#;7$$"+9dG9F!"*$"2/k%Rjh;?L!#;7$$"+Vr&G9$!"*$"17(G*eK^MG!#:7$$"+r&G9d$!"*$"2xh#yZ'3G(>!#;7$$"#S!""$"0^*[w$Qh$*)!#:7$$"+H9dGW!"*$!2))p!4b.$)=A!#<7$$"+dG9d[!"*$!2MBYb(*>v>"!#;7$$"+'G9dG&!"*$!2B(3Kg"z*))=!#;7$$"+9dG9d!"*$!1C*=kPb]?#!#:7$$"20++I9dG9'!#;$!12=B!em)>@!#:7$$"+r&G9d'!"*$!2t5W?$G:u;!#;7$$"#q!""$!1LIyqB)pl*!#;7$$"+H9dGu!"*$!1"yu'ovP28!#;7$$"2&*****p&G9dy!#;$"1%p!\eN>.o!#;7$$"+'G9dG)!"*$"2Ky"\eEkG8!#;7$$"+9dG9()!"*$"2XS`F=e)4<!#;7$$"+Vr&G9*!"*$"2[Kpw\$Hq<!#;7$$"+r&G9d*!"*$"1^NHz=09:!#:7$$"$+"!""$"#5!""-%&COLORG6&%$RGBG$"#5!""$""!!""$""!!""-%'CURVESG6$7B7$$"#5!""$""!!""7$$"+"eA.H"!"*$"1-KR0\)p:"!#:7$$"+h^k!e"!"*$"2<RH8jk\/#!#;7$$"+Ux'4(=!"*$"2c"*H[>%)))o#!#;7$$"+B.Hh@!"*$"2<9s`WT)*3$!#;7$$"+.Hh^C!"*$"21gNP*)H&[K!#;7$$"+%[N>u#!"*$"2%)po#3F)R<$!#;7$$"+l!eA.$!"*$"11/WF9l')G!#:7$$"+X1eAL!"*$"1">&Q8Zj=C!#:7$$"+EK!Hh$!"*$"2&pTNYy;7=!#;7$$"+1eA.R!"*$"2USI@`fp6"!#;7$$"+(Q[N>%!"*$"2/tk"[.&z'Q!#<7$$"+o4(Q[%!"*$!2wYZHH,BC$!#<7$$"+[N>uZ!"*$!1xTrWd1b'*!#;7$$"+Hh^k]!"*$!2eOjgwBM\"!#;7$$"*rQ[N&!")$!2paj1;BV(=!#;7$$"*Hh^k&!")$!1_m?w'om3#!#:7$$"+rQ[Nf!"*$!2<\r#zxFA@!#;7$$"20++?X1eA'!#;$!1k=rHD`')>!#:7$$"+K!Hh^'!"*$!27ULEMqvp"!#;7$$"+8;X1o!"*$!2kpo([J`%G"!#;7$$"+%>un4(!"*$!1f<"*4:D]y!#;7$$"+un4(Q(!"*$!2(3$>$e9))>C!#<7$$"+b$>un(!"*$"1W-'4]\v*H!#;7$$"1*****\$>unz!#:$"/Adc9;qz!#97$$"+;X1e#)!"*$"2uJ9doX:@"!#;7$$"1*****p4(Q[&)!#:$"2c-;,YrG^"!#;7$$"+x'4(Q))!"*$"2P=iLxj/o"!#;7$$"+eA.H"*!"*$"2&[I3+520<!#;7$$"+R[N>%*!"*$"2(3Pq)=R"*e"!#;7$$"+>un4(*!"*$"2)H_oB>IY8!#;7$$"$+"!""$"#5!""-%&COLORG6&%$RGBG$"#5!""$""!!""$""!!""-%'CURVESG6$7L7$$"#5!""$""!!""7$$"+&>7&>7!"*$"1Lzk[d,:*)!#;7$$"*RC!R9!")$"2#ebX(zrGi"!#;7$$"+&eO&e;!"*$"1"eCZj7I@#!#:7$$"*y[!y=!")$"0@%p[yBmE!#97$$"+w4c(4#!"*$"2%>R*y2ZC)H!#;7$$"+rJ2<B!"*$"14)419%ohJ!#:7$$"+m`eOD!"*$"1'*Q,EUM1K!#:7$$"+hv4cF!"*$"1,o%f4CA7$!#:7$$"+c(4c(H!"*$"18YX(**4*=H!#:7$$"+^>7&>$!"*$"0_FLrM(4E!#97$$"+YTj9M!"*$"2VfLIaG9@#!#;7$$"+Tj9MO!"*$"2D%e)eDWNu"!#;7$$"+P&eO&Q!"*$"2\ft4%prF7!#;7$$"+K2<tS!"*$"1_l#4(p6oo!#;7$$"+FHo#H%!"*$"2^B'4u\3S9!#<7$$"+A^>7X!"*$!2lnFtx'G"y$!#<7$$"+<tqJZ!"*$!1$p))eePbe)!#;7$$"+7&>7&\!"*$!2D5VQ:q&y7!#;7$$"+2<tq^!"*$!1)oa,.bDi"!#:7$$"+-RC!R&!"*$!1-%pa.X&y=!#:7$$"+)4c(4c!"*$!2'G;4p*e'Q?!#;7$$"+$Ho#He!"*$!2Oy*pa0M*4#!#;7$$"+)[!y[g!"*$!1/nx$o791#!#:7$$"+$o#Hoi!"*$!2k#Qz)*H%*H>!#;7$$"+y[!y['!"*$!0RL****GRr"!#97$$"20++I2<tq'!#;$!1iRy%y=eU"!#:7$$"+o#Ho#p!"*$!1)\!p)f!*33"!#:7$$"+j9MYr!"*$!0@9lK._'p!#:7$$"+fO&eO(!"*$!2M'\pUsq8H!#<7$$"+aeO&e(!"*$"2^=O#y#4Y:"!#<7$$"+\!y[!y!"*$"1b()\JN)H0&!#;7$$"+W-RC!)!"*$"0W@WVtqg)!#:7$$"+RC!RC)!"*$"1$))*\,kCm6!#:7$$"+MYTj%)!"*$"1nHGqZ649!#:7$$"+Ho#Ho)!"*$"27M<]gq'z:!#;7$$"+C!RC!*)!"*$"2#GbTE#)zr;!#;7$$"*A^>7*!")$"1:ei)R5Jo"!#:7$$"+:MYT$*!"*$"2Ko1a>z\h"!#;7$$"*hv4c*!")$"2Fvjgw'Rs9!#;7$$"+0y[!y*!"*$"2%=IBu\nj7!#;7$$"$+"!""$"#5!""-%&COLORG6&%$RGBG$"#5!""$""!!""$""!!""-%'CURVESG6$7V7$$"#5!""$""!!""7$$"+)eqk<"!"*$"1uEfW]qms!#;7$$"+w6%HN"!"*$"1LY_eM5Y8!#:7$$"+l<TH:!"*$"2,))>$yK$=(=!#;7$$"+`B)eq"!"*$"16!H?\f'3B!#:7$$"+THN#)=!"*$"1Ge<b-ldE!#:7$$"+HN#)e?!"*$"0M<"R@k=H!#97$$"+=THNA!"*$"2(*\>t"ye"4$!#;7$$"+1Zw6C!"*$"1[5,]QJxJ!#:7$$"+%HN#)e#!"*$"2YN&)4@Wz<$!#;7$$"+#)eqkF!"*$"2DO-X+:r4$!#;7$$"+rk<TH!"*$"2lk9trY+%H!#;7$$"+fqk<J!"*$"1NYdP@^8F!#:7$$"+Zw6%H$!"*$"1xu")ySsDC!#:7$$"+N#)eqM!"*$"20:QG4gh3#!#;7$$"+C)eqk$!"*$"2_\%="yP`q"!#;7$$"+7%HN#Q!"*$"2$4ks&e_XH"!#;7$$"#S!""$"1[G>s/*el)!#;7$$"+)eqk<%!"*$"1#\'ps.;/V!#;7$$"+w6%HN%!"*$"1ypZPJ)4w)!#>7$$"+l<THX!"*$!1CJx&e8i6%!#;7$$"+`B)eq%!"*$!1lz2Cv$R'z!#;7$$"+THN#)[!"*$!1ocYNtvV6!#:7$$"+HN#)e]!"*$!18RYV(p_W"!#:7$$"+=THN_!"*$!2^+/lJORp"!#;7$$"+1Zw6a!"*$!2)RoY(euV)=!#;7$$"+%HN#)e&!"*$!2U(**e$fKH,#!#;7$$"+#)eqkd!"*$!2b%RQ`!ex2#!#;7$$"+rk<Tf!"*$!2:=W()*o")y?!#;7$$"+fqk<h!"*$!2k5`,8hy,#!#;7$$"+Zw6%H'!"*$!2$zG.%QZ$)*=!#;7$$"1*****\B)eqk!#:$!2_2)[L!4`s"!#;7$$"+C)eqk'!"*$!2ws)\;f=0:!#;7$$"1*****>THN#o!#:$!2$eJG%*phX7!#;7$$"#q!""$!1dl"z;A?b*!#;7$$"+)eqk<(!"*$!1*pS"HrSKk!#;7$$"+w6%HN(!"*$!2`#yR>.`%>$!#<7$$"+l<THv!"*$"2&>oO#QmWI'!#>7$$"+`B)eq(!"*$"2%*HDQB[KC$!#<7$$"+THN#)y!"*$"1[k'4WrKD'!#;7$$"+HN#)e!)!"*$"1_!\o))or+*!#;7$$"1*****z6%HN#)!#:$"2ei7]_AG9"!#;7$$"+1Zw6%)!"*$"1(G3*G?5X8!#:7$$"+%HN#)e)!"*$"2'z^liOJ-:!#;7$$"+#)eqk()!"*$"2&Gt9\lk5;!#;7$$"+rk<T*)!"*$"2d)4w!y2ym"!#;7$$"+fqk<"*!"*$"1wIK"3kIn"!#:7$$"+Zw6%H*!"*$"2ox]ISPsi"!#;7$$"+N#)eq%*!"*$"2w_Nt:bE`"!#;7$$"+C)eqk*!"*$"2#\TM@r0$R"!#;7$$"+7%HN#)*!"*$"1E0nyAY87!#:7$$"$+"!""$"#5!""-%&COLORG6&%$RGBG$"#5!""$""!!""$""!!""-%'CURVESG6%7ao7$$"#5!""$""!!""7$$"+%>(3)4"!"*$"*nB$\T!"*7$$"+)Quh>"!"*$"*b_g$z!"*7$$"*`>:G"!")$"+Z=&o4"!"*7$$"+tY'oO"!"*$"+d[\x8!"*7$$"+7U%GY"!"*$"+$o4um"!"*7$$"+^P#)e:!"*$"+()p&4$>!"*7$$"+0&Ral"!"*$"+cz2q@!"*7$$"+f_0_<!"*$"+pu7$Q#!"*7$$"+r$oV%>!"*$")`oHF!"(7$$"+VsmA@!"*$"+$fX'eH!"*7$$"*Kw\@#!")$"+pPKUI!"*7$$"+)R&G2B!"*$"*ZwB5$!")7$$"+)[=]N#!"*$"*.NU7$!")7$$"+y:v-C!"*$"+=%z)RJ!"*7$$"+oY[]C!"*$"+8-O\J!"*7$$"+ex@)\#!"*$"+%*ft_J!"*7$$"+oxzXD!"*$"*i"4]J!")7$$"+xxP$f#!"*$"*&>_TJ!")7$$"+'yd4k#!"*$"+X&4r7$!"*7$$"+'zP&)o#!"*$"+k_%p5$!"*7$$"+s:U'y#!"*$"+*30y/$!"*7$$"+[`I%)G!"*$"+CHslH!"*7$$"+9vtcI!"*$"+Q%3)oF!"*7$$"+#Hb3D$!"*$"+&\7^Z#!"*7$$"+Q,xXM!"*$"+9!=^6#!"*7$$"+3ngLO!"*$"*Mp#><!")7$$"+3.=/Q!"*$"+*o5&H8!"*7$$"+=)3q+%!"*$"+r!3XV)!#57$$"*<J)yT!")$"+G')H]U!#57$$"+89qyV!"*$!)H%)Ha!"*7$$"+X/ibX!"*$!)QS&f%!")7$$"+j'G(\Z!"*$!*Fagq)!"*7$$"+*elX$\!"*$!+/RT=7!"*7$$"+JNUF^!"*$!+3?*e_"!"*7$$"+Et_/`!"*$!+TJM^<!"*7$$"+%pdb\&!"*$!+7V%y#>!"*7$$"+D6x%f&!"*$!+f%f4*>!"*7$$"+eX)Rp&!"*$!+nZ<M?!"*7$$"*9].y&!")$!*zLb0#!")7$$"+Fdrme!"*$!+*f@=1#!"*7$$"+DH**ff!"*$!+Ej(=0#!"*7$$"+@,F`g!"*$!+>?)[-#!"*7$$"+&fM'\h!"*$!+1rez>!"*7$$"+l!**fC'!"*$!+Y@D<>!"*7$$"+OnaMk!"*$!+d&R"\<!"*7$$"+.j(ph'!"*$!+DMDM:!"*7$$"+MK`>o!"*$!+\qQX7!"*7$$"+X'R:+(!"*$!+o%\w]*!#57$$"+Q.(e>(!"*$!+YGq7h!#57$$"+GG'>P(!"*$!+tIq=H!#57$$"+K%yWc(!"*$"*W`p$e!#57$$"+81iXx!"*$"+)RA=y$!#57$$"+'Qm\$z!"*$"+khm:p!#57$$"+)['3?")!"*$"+f)Rjn*!#57$$"+y+*QJ)!"*$"+D"e`@"!"*7$$"*(fa+&)!")$"+n?r19!"*7$$"+z&G9p)!"*$"+9Ww[:!"*7$$"*ezgy)!")$"+-![yf"!"*7$$"+$eI2)))!"*$"+r@OK;!"*7$$"+D]qn*)!"*$"+`H5^;!"*7$$"+l%zY0*!"*$"+s`Rd;!"*7$$"**>Oa"*!")$"+JFR\;!"*7$$"+9X/a#*!"*$"+*o$QD;!"*7$$"*v,KM*!")$"+cGn!f"!"*7$$"***eBV*!")$"+m'fQa"!"*7$$"+8%zCi*!"*$"+1K!fS"!"*7$$"+<*[W!)*!"*$"+`>")H7!"*7$$"$+"!""$"+)*********!#5-%&COLORG6&%$RGBG$""!!""$"#5!""$""!!""-%*THICKNESSG6#""&-%%VIEWG6$;$"#5!""$"$+"!""%(DEFAULTG-%+AXESLABELSG6$-I#miG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"6'Q"x6"/%'familyGQ!6"/%%sizeGQ#106"/%'italicGQ%true6"/%,mathvariantGQ'italic6"Q!6"-%*AXESSTYLEG6#%$BOXG-%%ROOTG6'-%)BOUNDS_XG6#$"$q%!""-%)BOUNDS_YG6#$"#!)!""-%-BOUNDS_WIDTHG6#$"%!3&!""-%.BOUNDS_HEIGHTG6#$"%S^!""-%)CHILDRENG6"
The numerical solution appears to be approaching the analytical solution as M gets larger. Here is a moving illustrating how the numerical solution improves with increasing M:
p := 'p':
for i from 1 to 30 do:
P := plot([BVP_solver(i),rhs(analytic_sol)],x=1..10,-6..6,color=[red,green],axes=boxed):
Q := textplot([1.5,5,cat(`M = `,i)],align={right}):
p[i] := display([P,Q]):
od:
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